Свободные незатухающие колебания

Пусть вещественная точка совершает прямые гармонические колебания повдоль оси ОХ

, тогда

и

, где

– амплитуда скорости;

– амплитуда ускорения.

По второму закону Ньютона сила, действующая на вещественную точку

.

Такая зависимость силы от смещения свойственна для упругой силы.

Силы другой физической природы, удовлетворяющие тому же виду зависимости, именуются квазиупругими.

Кинетическая энергия вещественной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна

либо

.

Кинетическая энергия К Свободные незатухающие колебания меняется от 0 до , совершая гармонические колебания с частотой 2ω0 и амплитудой около среднего значения, равного .

Возможная энергия вещественной точки, совершающей гармонические колебания под действием квазиупругой силы, равна

либо

.

Таким макаром, возможная энергия W временами меняется от 0 до , совершая гармонические колебания с повторяющейся частотой 2ω0 и амплитудой около среднего значения, равного .

Колебания возможной Свободные незатухающие колебания и кинетической энергии совершаются со сдвигом по фазе на π , так что полная механическая энергия вещественной точки не меняется при гармонических колебаниях:

E, K, W

E

K

W

Линейный гармонический осциллятор– (к примеру, пружинный маятник).

либо

Это уравнение является дифференциальным уравнением гармонических колебаний, решением которого является

,

где

Импульс гармонического осциллятора

.

Если из системы уравнений р(t) и x(t) исключить Свободные незатухающие колебания время то после преобразований приходим к уравнению, которое на координатной плоскости х, р (фазовой плоскости) является уравнением эллипса

.

График зависимости р = р(х) именуют фазовой траекторией. Неважно какая точка этой линии движения соответствует состоянию осциллятора в некий момент времени. Ниже представлены фазовые линии движения свободных незатухающих колебаний, образующих семейство схожих эллипсов Свободные незатухающие колебания (отношение длин полуосей равно k2 ).

Каждому эллипсу соответствует определённый уровень энергии осциллятора. Площадь эллипса равна произведению его полуосей, умноженному на :

.

Как следует, для полной энергии осциллятора можно записать ,

где интеграл представляет из себя площадь, охватываемую фазовой кривой.

Физический маятник – твёрдое тело, которое может крутиться под действием собственной Свободные незатухающие колебания силы тяжести mg вокруг недвижной горизонтальной оси О , не проходящей через центр тяжести тела и именуемой осью качания маятника.

Если пренебречь силами трения в подвесе маятника, то момент относительно оси качания создаёт только mg и при отклонении маятника на угол α эта сила создаёт момент численно равный и стремящийся вернуть маятник Свободные незатухающие колебания в положение равновесия (α = 0).

В согласовании с главным законом динамики твёрдого тела, вращающегося вокруг недвижной оси, уравнение движения физического маятника имеет вид

, где

– расстояние от центра тяжести маятника до оси качания;

J – момент инерции маятника относительно той же оси.

При малых колебаниях . Тогда

и угол α удовлетворяет дифференциальному уравнению гармонических колебаний

, где

– амплитуда колебаний угла Свободные незатухающие колебания .

Математический маятник – предельный случай физического маятника – вещественная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

В данном случае d = l – длина математического маятника, а J = ml2.

Соответственно .

Длина математического маятника, имеющего таковой же период колебаний, что и данный физический маятник именуется приведённой длиной lпр Свободные незатухающие колебания этого физического маятника

.

Точка О1 , лежащая на прямой ОС на расстоянии lпр от точки подвеса О , именуется центром качания физического маятника. Точки О и О1 владеют свойством взаимности.

Лекция 6


svoeobrazie-integracionnih-processov-na-afrikanskom-kontinente-i-ih-vidi.html
svoeobrazie-lyubovnoj-liriki-a-a-bloka-sochinenie.html
svoeobrazie-obucheniya-v-period-doshkolnogo-detstva-ponyatie-i-harakteristika-obrazovatelnoj-situacii.html